Mi történik, ha egy látszólag tökéletes matematikai levezetés teljesen abszurd következtetéshez vezet?
A nullával való osztás pontosan ilyen rejtett csapda, amely egyetlen apró lépéssel összeomlaszthatja a logika egész kártyavárát. Ebben a cikkben feltárjuk a klasszikus példákat, mint a 7 egyenlő 5-tel vagy az 1 egyenlő 2-vel bizonyításokat, és megmutatjuk, hol bújik meg a végzetes hiba, amiért soha nem szabad nullával osztani.
“A nullával való osztás eredménye határozatlan, ezért ez a művelet érvénytelen a matematikában és mindent elnyel, mint egy logikai fekete lyuk.”
Képzeljétek el, mi lenne, ha azt mondanám, hogy a hét egyenlő az öttel? Teljesen őrültségnek hangzik, igaz?
Pedig pontosan ilyen matematikai csínytevéseknek járunk utána ma. Üdvözlünk mindenkit az Elemzem következő részében. Együtt fogjuk kideríteni, hogyan dőlhet össze a logika kártyavárként egyetlen apró rése hiba miatt. Indulhat a nyomozás? Oké, vágjunk is bele.
7 = 5
Nézzük csak ezt a levezetést.
Ha 7×0=0 és 5×0=0 akkor 0-val egyszerűsítve 7=5? Első pillantásra teljesen ártalmatlannak tűnik. Ugye 7 szorozva nullával az nulla. Rendben. 5 szorozva nullával is nulla. Vagyis a 7 x 0 ugyanannyi, mint az 5 x 0. Logikus, nem? Na, de mi van, ha mindkét oldalról leegyszerűsítjük a nullát? Hát bum, azt kapjuk, hogy a hét egyenlő az öttel. Na most álljunk meg egy szóra. Hogy a csudában lehetséges ez? Valami itt nagyon nem kerek.
És igen, ez az a pont, ahol tényleg komolyra fordul a dolog, mert gondoljatok csak bele, ha ez igaz lenne, akkor minden, amit a matematikáról tanultunk, egyszerűen összeomlana. A mai küldetésünk tehát nem más, mint egy detektívmunka. Fel kell göngyölítenünk ezt az ügyet és megtalálnunk a rejtett hibát. Hol a turpisság a dologban?
És hogy lássátok, ez nem csak egy elszigetelt eset, mutatunk egy másik, még ravaszabb bűvésztrükköt.
Itt most a jó öreg algebra segítségével fogjuk bebizonyítani a lehetetlent, hogy az egy az bizony kettő. Legyen a egyenlő b-vel. Tiszta sor. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a-val. Mit kapunk? Azt, hogy a négyzet egyenlő a szorozva b-vel. Ez is egy teljesen szabályos algebrai lépés, ugye? Jöhet a harmadik. Vonjunk ki mindkét oldalból b négyzetet. Eddig minden teljesen kóser, minden lépés a matematika szigorú szabályai szerint történt.
Na. Most jön a bűvésztrük lényege. Alakítsuk át mindkét oldalt szorzattá. A bal oldalon ott egy szép nevezetes azonosság. A jobb oldalon pedig egyszerűen kiemelünk egy b-t. És mit látunk? Hoppá! Mindkét oldalon ott figyel az a mínusz b szorzó tényező. És itt jön a kulcslépés, a nagy mutatvány. Egy látszólag teljesen ártalmatlan mozdulattal leegyszerűsítünk vele. És mi marad? Az, hogy a plusz b egyenlő b-vel. És most jön a végső döfés, a csattanó. Ugye emlékeztek még, honnan indultunk? Hát persze, hogy a egyenlő b-vel. Helyettesítsünk ezt vissza az egyenletünkbe. Azt kapjuk, hogy 2 szorozva b egyenlő b-vel. Ha most mindkét oldalt elosztjuk b-vel, akkor hát igen, megkapjuk a teljes képtelenséget. Kettő egyenlő eggyel.
De de hogy? Hiszen minden lépésünk tökéletesen logikusnak tűnt.
Na jó, elég a bűvészkedésből, jöjjön a leleplezés. Ami most következik, az a lényeg. Kiderül, hogy mindkét bizonyításunk, a hét egyenlő öttel és az egy egyenlő kettő is pontosan ugyanazon az egyetlen aprócska, de abszolút végzetes hibán csúszik el. Egy olyan alapszabályt szegtünk meg, amit a matematikában soha, de soha nem szabad. És ez a tiltott gyümölcs nem más, mint a nullával való osztás.
Igen, jól hallottátok. Ez a matematika egyik legfontosabb, megkerülhetetlen alapszabálya. De miért is? Azért, mert a nullával való osztás eredménye határozatlan. Ez nem azt jelenti, hogy nulla vagy végtelen, hanem azt, hogy bármi lehetne. Képzeljétek el, mint egy logikai fekete lyukat, ami mindent elnyel. Gondoljunk bele egy pillanatra. Ha azt mondom, hogy valami nevezzük a-nak egyenlő nulla osztva nullával, akkor visszafelé gondolkodva ez azt jelentené, hogy a szorozva nullával egyenlő nulla. Na de melyik számra igaz ez? Hát bármelyikre. Az a lehet egy, lehet hét, lehet egymilliárd is. Mivel az eredmény abszolút nem egyértelmű, az egész művelet érvénytelen. Ha megengednénk, az a matematika teljes logikai rendszerét rombolná le.
Oké, most, hogy tudjuk a nagy titkot, jöhet a valódi detektívmunka.
Ti már látjátok, hol bújt el a hiba a bizonyításainkban. Vegyük elő újra a bűnjeleket, de most már ezzel a tudással felvértezve. Na nézzük az első rejtélyt, a hét egyenlő öttel esetet. A bűnös lépés pontosan az, amikor a 7 x 0 egyenlő 5 x 0 egyenletből egyszerűsítünk. Ez az egyszerűsítés ugyanis egy rejtett nullával való osztás. Ahhoz, hogy eltüntessük a nullákat, mindkét oldalt el kellett osztanunk nullával. És bum, lebuktunk. Ez az a lépés, ami tilos. Itt volt a hiba.
A második egyszer kettes bizonyítás viszont sokkal sunyibb volt, nem? Ott az a mínusz b tényezővel egyszerűsítettünk. De mi is volt a legeslegelső feltevésünk? Ja, igen, hogy a egyenlő b-vel. És ha a egyenlő b-vel, akkor a mínusz b mennyi is? Hát persze, hogy nulla. Szóval itt is, csak egy kicsit jobban álcázva, de pofátlanul nullával osztottunk. Na, ez tökéletesen megmutatja, hogyan lehet elrejteni egy logikai hibát egy látszólag korrekt levezetésben.
Na most, hogy már mindannyian logikai szuperdetektívek lettünk, nézzünk még pár gyors, humoros példát, ahol a látszat csal.
Ezek már tényleg csak a poén kedvéért jönnek, ígérem. Itt van például ez. Egy kör belső szögének összege tudjuk 360 fok. Egy négyzet belső szögének összege 4 szorozva 90 az is 360 fok. Akkor a kör egyenlő a négyzettel. Hát nyilván nem. Ez a tökéletes példa arra, hogy attól, hogy két dologban van egy közös vonás, még nem lesznek ugyanazok. És ez itt az egyik személyes kedvencem, a hibás módszer helyes eredmény esete. Nézzétek meg a 16 osztva 64-gyel. Mi lenne, ha csak úgy lustaságból kihúznánk a hatosokat? Egy negyedet kapunk. És az a helyes eredmény, ugyanez működik a többi példánál is. Ez a jelenség az úgynevezett anomáliás egyszerűsítés, és arra a vicces tényre hívja fel a figyelmet, hogy néha a totálisan rossz út is elvezethet a jó megoldáshoz, de azért ne bízzuk magunkat a véletlenre.
Jó, jó, de miért is fontos mindez? Miért foglalkozunk ennyit ilyen kis logikai csínytevésekkel?
Van ennek bármi köze a való élethez? Hát nagyon is. Azért, mert a matematika és általában a logikus gondolkodás egy kőkemény szabályrendszerre épül. Elég egyetlen apró hiba, egyetlen elrejtett nullával való osztás és az egész gyönyörű érvelésünk kártyavárként dől össze. És ha megtanuljuk kiszúrni a hibát egy ilyen egyszerű matematikai trükkben, talán élesebb szemmel vesszük észre a logikai buktatókat a hétköznapi vitákban, a politikában vagy akár a hírekben is. A kritikus gondolkodás pontosan itt kezdődik. A nullával való osztás tanulsága ezért messze túlmutat a matekórán: segíti, hogy éberebben kezeljük a mindennapi információkat és ne dőljünk be látszólag logikus, de hibás érveknek.
Nagyon köszönjük, hogy velem tartottatok ezen a kis logikai nyomozáson. Ez az Elemzem volt. Ha tetszett ez a mai anyag, akkor kérlek, dobjatok egy lájkot, és ami még fontosabb, osszátok is meg a Facebook oldalunkról, csatlakozzatok, kövessetek be minket a további tartalmakért. És a legfontosabb, ha van olyan téma, ami titeket is foglalkoztat, és szeretnétek, hogy utánajárjunk, ne habozzatok, írjátok meg nekünk kommentben. Sziasztok!
- Mi a hiba a 7 egyenlő 5-tel levezetésben? A nullák egyszerűsítése rejtett nullával való osztás volt, ami tilos.
- Miért határozatlan a nullával való osztás eredménye? Mert bármely szám szorozva nullával nulla, így visszafelé bármi lehetne az eredmény.
- Miért fontos mindez a hétköznapi életben? Fejleszti a kritikus gondolkodást, hogy kiszúrjuk a logikai hibákat vitákban vagy hírekben.
Kapcsolódó tartalmak:
A gondolatok illúziója: az agyunk irányítja őket?
Tiltott művelet
0-val való osztás magyarázata
